Cara Menuntaskan Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
pada July 21, 2017
Nilai mutlak suatu bilangan sanggup diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut:
Jarak angka 6 dari titik 0 yakni 6
Jarak angka -6 dari titik 0 yakni 6
jarak angka -3 dari titik 0 yakni 3
Jarak angka 3 dari titik0 yakni 3.
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif.
Berkaitan dengan memilih nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Misalnya menyerupai berikut.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak sanggup dimaknai menyerupai berikut.
Jika kita memiliki persamaan dalam bentuk aljabar, maka sanggup dimaknai sebagai berikut.
Jadi, bentuk dasar di atas dpat dipakai untuk membantu menuntaskan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.
Jawaban:
Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas sanggup diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri.
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) x + 5 = 3 , maka x = 3 - 5 = -2
(**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {-2, -8}
2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5 , maka 2x = 5 - 3
2x = 2 <==> x = 1
(**) 2x + 3 = -5 , maka 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {-4, 1}
3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1 Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
Persamaan mutlak sanggup ditulis:
(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 - 1
3x = 6
x = 2 (terpenuhi, alasannya yakni batasan >= -1)
(**) untuk x < -1
Persamaan mutlak sanggup ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x - 1 + 2x = 7
x = 7 + 1
x = 8 (tidak terpenuhi, alasannya yakni batasan < -1)
Jadi, Himpunan penyelesaiannya yakni {2}.
4. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
Persamaan mutlak sanggup ditulis:
(3x + 4) = x - 8
3x - x = -8 - 4
2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, alasannya yakni batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
Persamaan mutlak sanggup ditulis:
-(3x + 4) = x - 8
-3x - 4 = x -8
-3x - x = -8 + 4
-4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, alasannya yakni batasan < -4/3)
Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya menyerupai menuntaskan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .
Pertidaksamaan mutlak sanggup digambarkan sebagai berikut.
Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak sanggup diselesaikan menyerupai berikut.
Lebih jelasnya perhatikan pola berikut ini.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.
Jawaban
1. Cara menuntaskan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 < x+7 < 9
-9 - 7 < x < 9 - 7
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { x/ -16 < x < 2}
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menuntaskan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
(*) 2x - 1 >= 7
2x >= 7 + 1
2x >= 8
x >= 4
(**) 2x - 1 <= -7
2x <= -7 + 1
2x <= -6
x <= -3
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { x/ x <= -3 atau x >= 4}
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menuntaskan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas. perhatikan proses berikut ini.
(x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 - (2x – 3)2
<= 0
<= 0
(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3)
<= 0 (ingat: a2 – b2 =
(a+b)(a-b))
<= 0 (ingat: a2 – b2 =
(a+b)(a-b))
x (6 - x) <=0
Pembuat nol yakni x = 0 dan x = 6
Mari selidiki memakai garis bilangan Oleh alasannya yakni batasnya <= 0, maka penyelesaiannya yakni x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. Mari selidiki memakai garis bilangan
Oleh alasannya yakni batasnya <= 0, maka penyelesaiannya yakni x <=0 atau x >=6.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya yakni {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak menyerupai ini lebih gampang memakai cara menjabarkan definisi. Prinsipnya yakni batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Dari batasan batasan itu maka sanggup diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian menyerupai pada garis bilangan di bawah ini.
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bab kawasan penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3 ......(1)
(3x + 1) - (2x + 4) < 10
3x + 1 - 2x- 4 < 10
x- 3 < 10
x < 13 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ......(1)
-(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10
-5x - 5 < 10
-5x < 15
-x < 3
x > 3 .......(2)
-(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10
-5x - 5 < 10
-5x < 15
-x < 3
x > 3 .......(2)
Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.
3. Untuk batasan x < -2 ......(1)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x - 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x < 7
x > -7 .......(2)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x - 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x < 7
x > -7 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.
Perhatikan pola Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.
