Operasi Penjumlahan Dan Perkalian Pada Himpunan

Dalam aljabar tidak hanya dibahas perihal himpunan tetapi juga himpunan bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.

Definisi I.1

Misalkan A himpunan tidak kosong. Operasi biner * pada A yakni pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan sempurna satu anggota x * y dalam A.

Himpunan bilangan bulat Z memiliki dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x+y dan x.y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z.

Operasi biner memiliki dua bab dari definisi yaitu:

1. terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x, y dalam A dikawankan dengan sempurna satu nilai x*y.

2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.

Contoh :

Diketahui N himpunan semua bilangan bundar positif. Didefinisikan * dengan aturan x*y = x-y.

Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.

Contoh :

Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y = x +2y dengan x, y dalam N = {1, 2, 3, … }. Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.

Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik alasannya yakni rumus x+2y menunjukkan hasil tunggal untuk setiap x, y dalam N.

Untuk sebarang x, y dalam N maka terperinci bahwa x+2y masih merupakan bilangan bundar positif. Lebih jauh 2y + x > 0 bila x > 0 dan y > 0. Berarti hasil dari x+2y masih merupakan bilangan positif dan karenanya N tertutup di bawah operasi #.

Hukum-hukum Aljabar

Suatu sistim aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang didefinisikan padanya. Bersama dengan hukum-hukum yang diharapkan dalam operasi.

Definisi I.2

Misalkan * operasi biner pada himpunan A.

(1) operasi * assosiatif bila (a*b)*c = a*(b*c) untuk semua a, b, c dalam A.

(2) operasi * komutatif bila a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

Dalam pembahasan selanjutnya hukum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bundar Z dan bilangan real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.

Contoh :

Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a*b = (1/2)ab.

Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.

Karena (a*b)*c = (1/2 ab)*c

= (1/2)((1/2 ab)c)

= (1/4) (ab)c

dan pada sisi lain

a*(b*c) = a*((1/2) bc)

= (1/2) a((1/2) bc)

= (1/4)(ab)c

untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif. Karena a*b = (1/2)ab

= (1/2)ba = b*a untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.

Contoh :

Operasi ⊕ didefinisikan pada bilangan bundar Z dengan aturan a ⊕ b = a + 2b.

Akan ditunjukkan bahwa ⊕ tidak komutatif dan tidak assosiatif.

Karena pada satu sisi

(a ⊕ b) ⊕ c = (a+2b) ⊕ c = (a+2b)+2c

dan pada sisi lain

a ⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b+2c)

= a+2(b+2c)

= a+(2b+4c)

= (a+2b)+4c

dari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c ≠ 0 maka ⊕ tidak assosiatif.

Karena a ⊕ b = a+2b dan b ⊕ a = b+2a dan kedua hasil ini tidak sama untuk a ≠ b maka ⊕ tidak

komutatif.

Terlihat bahwa aturan untuk * tidak menjamin bahwa himpunan X tertutup di bawah operasi *. Berikut ini diberikan suatu cara untuk menunjukan bahwa suatu himpunan tertutup terhadap suatu operasi.

Untuk menunjukan sifat tertutup dari suatu system X dimulai dengan dua sebarang anggota yang dioperasikan dengan operasi * dan lalu ditunjukkan bahwa hasilnya masih memenuhi syarat keanggotaan dalam X.

Untuk selanjutnya dalam goresan pena ini R2 dimaksudkan himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan real R2 = { (a,b) | a, b dalam R }.

Contoh :

Misalkan ⊕ memiliki aturan (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c, b+d).

Akan ditunjukkan bahwa R2 tertutup di bawah operasi ⊕ .

Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R2 berlaku (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)

dengan a+c dan b+d dalam R sehingga (a+c,b+d) dalam R2.

Oleh alasannya yakni itu hasilnya merupakan pasangan berurutan dan tertutup di bawah operasi ⊕. Selanjutnya operasi < A, *> menyatakan himpunan A dan * merupakan operasi yang didefinisikan pada A.

Definisi I.3:

(1) < A,* > memenuhi aturan identitas asalkan A mengandung suatu anggota e sehingga e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang memiliki sifat demikian dinamakan identitas untuk < A,* >.

(2) < A, * > memenuhi aturan invers asalkan A mengandung suatu identitas e untuk operasi * dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a′ dalam A yang memenuhi a*a′ = a′*a = e. Elemen a′ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a.

Sebagai contoh, Z mengandung identitas 0 untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap a dalam Z, anggota –a memenuhi a+(-a) = (-a)+a = 0 sehingga a memiliki invers terhadap operasi penjumlahan dan < Z, + > memenuhi aturan invers. Di samping itu Z mengandung identitas 1 terhadap operasi pergandaan tetapi Z tidak mengandung invers terhadap pergandaan kecuali 1 dan -1.

Untuk menunjukan aturan identitas dilakukan dengan menduga anggota tertentu e dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan lalu menguji apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.

Untuk menunjukan aturan invers dilakukan dengan sebarang anggota x dalam himpunan yang memiliki identitas e dan menduga invers dari x yaitu x′ dalam himpunan dan lalu menguji apakah x*x′ = e dan x′*x = e.

Contoh :

Bila operasi didefinisikan menyerupai pada Contoh I.6 maka akan dibuktikan bahwa aturan invers dan aturan identitas berlaku.

Diduga bahwa (0,0) merupakan anggota identitas. Karena untuk sebarang (a,b) dalam R2 berlaku

(0,0)+(a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b) dan (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b) maka (0,0) identitas dalam R2.

Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R2 maka akan ditunjukkan (-a,-b) dalam R2 merupakan inversnya. Karena –a dan –b dalam R maka (-a,-b) dalam R2. Lebih jauh lagi, (a,b) ⊕ (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) dan (-a,-b) ⊕ (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0) sehingga (-a,-b) merupakan invers dari (a,b) dalam R2 .

Contoh  :

Bila * didefinisikan pada R dengan aturan a*b = ab + a maka akan ditunjukkan bahwa < R, *> tidak memenuhi aturan identitas. Karena semoga a*e sama dengan a untuk semua a haruslah dimiliki ae + a = a sehingga e perlulah sama dengan 0.

Tetapi meskipun a*0 = a maka 0*a = 0*(a+0) = 0 yang secara umum tidak sama dengan a. Oleh alasannya yakni itu tidak ada e dalam R yang memenuhi a*e = a dan e*a = a. Terbukti bahwa tidak ada identitas dalam R terhadap *.

Hukum Aturan Pada Teori Himpunan

Pada kesempatan kali ini yang akan kita coba bagikan kepada sahabat sahabat yaitu perihal Dasar-dasar teori perihal teori himpunan, berikut ini sangat penting dalam pembahasan perihal teori grup.

1. Himpunan

Himpunan yaitu suatu kumpulan obyek (kongkrit maupun abstrak) yang didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.

Contoh I.1 :

1. Himpunan bilangan 0, 1, 2 dan 3.

2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.

3. Himpunan : Negara-negara anggota ASEAN.

Secara matematik, himpunan sanggup dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dan dipakai notasi abjad besar. Hal itu berarti, himpunan di atas ditulis secara matematik yaitu :

1. A = { 0, 1, 2, 3 }.

2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }.

3. C = { Negara-negara ASEAN }.

Untuk membentuk himpunan, salah satu metode yang sanggup dipakai yaitu metode Roster (tabelaris) yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, ibarat pada himpunan A dan 3

B sedangkan metode lainnya yaitu metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya. Sebagai contoh, penggunaan metode Rule yaitu C = { x | x negara-negara ASEAN }. Kalimat di belakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat keanggotaan.

Apabila suatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang dipakai yaitu ∈. Sebaliknya apabila bukan merupakan anggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang dipakai yaitu ∉. Sebagai contoh, kalau himpunan A = {0, 1, 2, 3 } maka 2 ∈ A sedangkan 4 ∉ A. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada teladan di atas n(A) = 4.

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B kalau n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A ∼ B. Berarti kalau A dan B ekuivalen maka sanggup dibentuk perkawanan satusatu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada teladan di atas himpunan A = {0, 1, 2, 3 } ekuivalen dengan himpunan E = {2, 4, 6, 8}.

Catatan :

Pada dikala menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa (i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {0, 1, 2, 3}, {1, 0, 3, 2} dipandang sama dengan {1, 2, 3, 0}

(ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {0, 0, 1, 1, 2, 3} dan {0, 1, 2, 3, 3, 3} dipandang sama dengan {0, 1, 2, 3}.

Himpunan semesta (universal set) yaitu himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai teladan kalau A ={0, 1, 2, 3} maka sanggup diambil himpunan semestanya U = { bilangan lingkaran } atau U = { himpunan bilangan cacah }, dll.

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, dalam hal ini digunakan

notasi ∅ atau { }. Sebagai teladan kalau D = { bilangan ganjil yang habis dibagi dua } maka D = ∅ atau D = { }.

Diagram Venn yaitu diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau korelasi antar himpunan. Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanya berupa titik dalam lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagai teladan kalau diketahui himpunan E = { 2, 4, 6, 8 } dan himpunan semestanya yaitu himpunan bilangan genap U sanggup digambarkan dengan diagram Venn.

Misalkan diketahui himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan kepingan (subset) kalau dan hanya kalau setiap elemen dari A merupakan elemen dari B. Notasi yang biasa dipakai yaitu A ⊆ B atau B ⊇ A. Notasi A ⊆ B dibaca A himpunan kepingan dari B atau A termuat dalam B, sedangkan notasi B ⊇ A dibaca B memuat A.

Contoh I.2 :

Himpunan { 0 } ⊆ { 0, 1, 2, 3 } sedangkan 0 ∈ { 0, 1, 2, 3 }. Dua himpunan dikatakan sama kalau dan hanya kalau keduanya mengandung elemen yang sempurna sama. Hal itu berarti bahwa A = B kalau dan hanya kalau setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya setiap anggota B juga menjadi anggota A. Untuk mengambarkan A = B maka haruslah dibuktikan bahwa A ⊆ B dan B ⊆ A. Sebagai teladan A = { 0, 1, 2, 3 } sama dengan himpunan B = { 1, 0, 2, 3 }. Perlu dicatat bahwa himpunan kosong merupakan himpunan kepingan dari sebarang himpunan sehingga ∅ ⊆ A.

Jika A dan B himpunan maka A dikatakan himpunan kepingan sejati (proper subset) B kalau dan hanya kalau A ⊆ B dan A ≠ B. Notasi yang biasa dipakai yaitu A ⊂ B. Sebagai teladan {1, 2, 4 } ⊂ { 1, 2, 3, 4, 5 }.

Himpunan A = { 0, 1, 2, 3 } bukan himpunan kepingan himpunan G = {1, 3, 6, 8} atau A ⊄ G sebab ada anggota A (misalnya 2) yang bukan anggota G. Dari suatu himpunan A sanggup dibentuk himpunan kuasa (power set) yaitu himpunan yang anggota-anggotanya yaitu himpunan kepingan dari himpunan A dan notasi yang dipakai yaitu 2A. 

Sebagai contoh, himpunan H = { 1, 2 } maka 2A = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }. Dalam hal ini n(2A) =2n(A) = 22 = 4. 

Dua himpunan A dan B dikatakan saling abnormal kalau masing-masing tidak kosong dan A ∩ B = ∅. Sebagai teladan himpunan A = { 0, 1, 2, 3 } saling abnormal dengan himpunan E = { 5, 6, 7, 8 }.

Komplemen himpunan A yaitu semua anggota dalam semesta yang bukan anggota A. Notasi pemanis A yaitu AC. Secara matematik sanggup ditulis sebagai AC ={ x | x ∈ U dan x ∉ A }.

Sebagai teladan kalau U = { 1, 2, 3,…, 10 } dan A = { 3, 5, 7 } maka AC={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}.

Relasi antara himpunan A dan komplemennya yaitu AC sanggup dinyatakan dalam diagram Venn. Dalam hal ini UC = ∅ dan ∅C = U. Gabungan (union) dua himpunan A dan B yaitu suatu himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakan

yaitu A ∪ B. Secara matematika A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }. 

Sebagai teladan kalau A = { a, i, e } dan B = { i, e, o, u } maka A ∪ B = { a, i, e, o, u }. Dalam hal ini berlaku sifat A ⊆ (A ∪ B} dan B ⊆ (A ∪ B} dan juga A ∪ AC = U.

Irisan (intersection) dari dua himpunan A dan B yaitu suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal ini dipakai notasi A ∩ B. Secara matematik A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }. 

Sebagai teladan kalau A = { 2, 3, 5, 7} dan B ={ 2, 4, 6, 8 } maka A ∩ B ={ 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa (A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B dan juga A ∩ AC=∅ .

Selisih antara himpunan A dan himpunan B yaitu anggota A yang bukan B. Notasi yang dipakai yaitu A-B. Secara matematik A-B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }. 

Sebagai teladan kalau A = {0, 1, 2, 3} dan B = { 3, 4, 5 } maka A-B = { 0, 1, 2 }. Diagram Venn untuk selisih sanggup digambarkan.

Jumlahan himpunan A dan B yaitu himpunan A saja atau himpunan B saja tetapi bukan anggota A dan B. Dalam hal ini dipakai notasi A + B. Secara matematik sanggup dinyatakan sebagai A + B = { x | x ∈ (A ∪ B) tetapi x ∉ (A ∩ B) }. 

Sebagai teladan kalau A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B ={ 2, 4, 6 } maka A + B = { 1, 3, 5, 6 }. Diagram Venn dari operasi penjumlahan sanggup digambarkan. Catatan bahwa : A + B = (A ∪ B) - (A ∩ B) atau A + B = (A - B) ∪ (B - A).

Hukum-hukum aljabar himpunan:

1. Hukum komutatif :

•  A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ B = B ∪ A

Bukti :

Karena A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } maka A ∩ B = { x | x ∈ B dan x ∈ A } = B ∩ A.

Karena A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } maka A ∪ B = { x | x ∈ B atau x ∈ A } = B ∪ A.

2. Hukum assosiatif: 

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

3. Hukum idempoten:

•  A ∩ A = A
• A ∪ A = A

4. Hukum distributif : 

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

5. Hukum de Morgan :

•  (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
• (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

6. Jika A ⊆ B maka A ∩ B = A dan A ∪ B = B.