Rangkuman Bahan Matematika Metode Minor-Kofator Dan Sarrus Untuk Memilih Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan

Rangkuman Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan. Determinan matriks segi A, diberi notasi det(A) atau |A|, didefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui hukum tertentu (aturan tersebut dikenal sebagai suatu pemetaan).

Untuk matriks berordo 1x1, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks A berukuran (ordo) 1x1, yaitu
A = $\mathbf{(a_{11})}$
Maka det (A) = |A| = $\mathbf{a_{11}}$

Untuk matriks berukuran 2x2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks $\mathbf{A}_{2\times 2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ maka
det(A) = + a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

Pada matriks segi $\mathbf{A}_{2\times 2}$ , dengan elemen-elemen a₁₁, a₂₂, a₁₂ dan a₂₁, dipetakan ke suatu bilangan real dengan hukum (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2x2.

Untuk matriks berukuran 2x2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks A berordo 3x3
$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$
Maka det(A) = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) - (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂)
Metode ini dikenal dengan metode Sarrus.

Metode Sarrus hanya sanggup dipakai untuk matriks berukuran 3x3. Perhitungan determinan matriks dengan ukuran lebih besar akan cukup rumit apabila di kerjakan dengan metode Sarrus. Salah satu cara memilih determinan suatu matriks yaitu dengan metode minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Caranya akan dijelaskan sebagai berikut ini.

Misalkan $\mathbf{A}_{ij}$ yaitu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks $\mathbf{A}_{n\times n}$ Didefinisika:
1. Minor elemen $\mathbf{a}_{ij}$ , diberi notasi $\mathbf{M}_{ij}$ , yaitu $\mathbf{M}_{ij}$ = det( $\mathbf{a}_{ij}$ )
2. Kofaktor elemen $\mathbf{a}_{ij}$ , diberi notasi $\mathbf{a}_{ij}$ , yaitu $\mathbf{a}_{ij}$ = $(-1)^{i+j}\mathbf{M}_{ij}$

Misalkan matriks $A=(a_{ij})_{n\times n}$ dan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$ , maka
1. det(A) = $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}a_{ij}$ , untuk sembarang i (i = 1, 2, ...., n)
2. det(A) = $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}a_{ij}$ , untuk sembarang j (j = 1, 2, ...., n)

Beberapa Sifat Determinan

1. Jika matriks A mempunyai suatu baris atau kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = 0
Contohnya:
$\begin{pmatrix} 1 &5 &9 \\ 0 &0 &0 \\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}$
Karena ada baris (yaitu baris ke dua) yang semua elemennya nol.

$\begin{pmatrix} 0 &5 &9 \\ 0 &1 &2 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix}$

Karena ada kolom (yaitu kolom ke satu) yang semua elemennya nol.

2. Jika ada satu barus atau kolom matriks A merupakan kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det(A) = 0
Contohnya:
$\begin{pmatrix} 1 &3 &4 \\ 2 &6 &8 \\ 2 &6 & 5 \end{pmatrix}$
Karena ada baris (yaitu baris kedua) yang semua elemennya merupakan kelipatan dari baris lainnya (yaitu baris ke satu).

$\begin{pmatrix} 2 &2 &3 \\ 5 &5 &8 \\ 1 &1 & 4 \end{pmatrix}$
Karena ada kolom (yaitu kolom pertama) yang semua elemennya merupakan kelipatan dari kolom lainnya (yaitu kolom kedua).

3. Jika matriks A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A yaitu perkalian unsur-unsur diagonal utamanya
Contohnya:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &6 &8 \\ 0 &0 & 5 \end{pmatrix}=(1)(6)(5)=30$
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut yaitu 1, 6 dan 5.

$\begin{pmatrix} 0 &0 &4 \\ 0 &6 &7 \\ 1 &9 & 4 \end{pmatrix}=(1)(6)(4)=24$
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut yaitu 1, 6 dan 4.

Rangkuman Bahan Matematika Metode Minor-Kofator Dan Sarrus Untuk Memilih Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan

No comments